Как вариант, в функции Barracks_build_ok можно написать:

	function Barracks_build_ok()
MessageBox("/Maps/SingleMissions/Time of Troubles1/Barracks_building1.txt");
SetObjectiveState("zadanie1", OBJECTIVE_ACTIVE,1);
Trigger(REGION_ENTER_AND_STOP_TRIGGER, "QuestSword", nil)
startThread( _Barracks_build_mob_monitor);
end

И сама функция _Barracks_build_mob_monitor:

	function  _Barracks_build_mob_monitor ()
         while 1 do
             sleep(2);
             if not Exists("Neutral") then
                Trigger(REGION_ENTER_AND_STOP_TRIGGER, "QuestSword", "Barracks_build_2");
                break
             end;
         end;
end;

Она в отдельном потоке проверяет, существует ли отряд 'Neutal' (Exists("Neutral")). Если в какой-то момент его победили, то триггер на регион меняется на "Barracks_build_2" - функция с диалогом №2.
Выполнение квеста зависит от того, какой у него тип (kind) стоит. Если OBJECTIVE_KIND_MANUAL, то его можно завершить строчкой:

	SetObjectiveState('zadanie1', OBJECTIVE_COMPLETED);

Поставить его надо под условие if not Exists("Neutral") then до триггера.
Если не OBJECTIVE_KIND_MANUAL, а настроенный на уничтожение отряда, то должен сам засчитаться.
С разблокировкой зданий не сталкивался, но тут скорее всего поможет SetTownBuildingLimitLevel.