На мой взгляд фраза "Прошу записать меня на турнир" звучит лучше чем "Хочу записаться на турнир". И проблемы я в ней никакой не вижу, вполне грамотный и адекватный вариант.

Кстати, на тему "совковости": в английском языке обычно употребляется выражение "Please, sign me up for the tournament", что в дословном переводе "Пожалуйста, зарегистрируйте меня на турнир". И да, это является просьбой. Притом не просто просьбой, а ещё и вежливой (жуть, да?). А если подходить совсем уж формально и дотошно -
"хочу" - не является заявкой на участие (хотя и может подразумеваться) что с точки зрения русского, что английского языка.

Имхо оптимальный вариант: "Пожалуйста, зарегистрируйте меня на турнир".