Не, трехмерная сфера - это наша Вселенная. Точнее, я где-то слышал, что Вселенная - это трехмерная сфера.

Четырёхмерная -- то есть сфера, которая обладает объёмом, но описывается с помощью четырёх измерений.
Это, кстати, совсем не факт. Одна из двух версий, следующих из ОТО. Вторая -- Вселенная является открытым бесконечным пространством, описывающимся тремя измерениями (то есть именно то, как мы её видим нашим обывательским взглядом).

Как бы то ни было, но обычная сфера - это многообразие размерности 2, а не 3.

Ну, как бы да, но мне не нравится такая терминология. Очевидно, что в двух измерениях нельзя обеспечить замкнутость. Здесь важнее то, как такое многообразие выглядит для наблюдателя, а не то, как оно выглядит для объектов внутри самого себя, по моему скромному мнению. Хотя с размерностью многообразия не спорю, тут терминология точная, а вот с размерностью фигуры -- да ))