Многогранник может лежать на своей грани, если на неё проецируется центр тяжести. (Центр тяжести тут надо прямоугольно проецировать на плоскость, в которой лежит грань, на которой он лежит.
) Так как получается, что многогранник должен быть выпуклым, а иначе не получится, что он может лежать на любой из своих граней, то центр тяжести находится внутри многогранника, а значит, если из него опустить перпендикуляры на все грани, то какой-нибудь из них уж точно должен пересечь грань, на которую он опущен.