Многогранник может лежать на своей грани, если на неё проецируется центр тяжести. (Центр тяжести тут надо прямоугольно проецировать на плоскость, в которой лежит грань, на которой он лежит. ) Так как получается, что многогранник должен быть выпуклым, а иначе не получится, что он может лежать на любой из своих граней, то центр тяжести находится внутри многогранника, а значит, если из него опустить перпендикуляры на все грани, то какой-нибудь из них уж точно должен пересечь грань, на которую он опущен.
Хм. Ну, звучит уже очевиднее, но всё ещё не на 100%, я бы сказал. Кто гарантирует, что проекция центра тяжести фигуры рано или поздно ляжет на грань? Вдруг он может всё время попадать на проекции других граней...
Ребят, тут задача не на динамику. Интересуют состояния равновесия, а не то, сколько времени какая фигура сможет вращаться. Равноплотностный шар находится в состоянии равновесия по умолчанию, хоть и неустойчивого.