При соединении параллелограммов в фигуру у нас будут параллельные стороны, верно? Более того, стороны будут попарно параллельны. Потому что, для любой стороны параллелограмма верно: либо она параллельна противоположной стороне и обе они являются внешними сторонами многоугольника; либо какая-то из них не является внешней стороной, но к ней прилегает сторона другого параллелограмма, так, по цепочке "параллельность" передаётся внешней стороне.
В 111-ти угольнике нечётное количество сторон, в результате как минимум одна сторона не будет параллельна никакой другой.