mg=integrate (h from 0 to H) ρg(H-h)*(-sin(α))*dS(h) ----------- (1) Вроде бы знак "-" тут. Потому что направление вверх, а не вниз, и потому что мне ответ надо подогнать ))
integrate (h from 0 to H) ρgHsin(α)*dS(h) = integrate (α from 0 to arcsin(H/R)) ρgH*2π(Rcos(α))sin(α)*Rdα = πρgHR^2 integrate (α from 0 to arcsin(H/R)) sin(2α)dα = -0,5 πρgHR^2 cos(2α) dα (α from 0 to arcsin(H/R)) = -0,5 πρgHR^2 (cos(2arcsin(H/R))-1) = -0,5 πρgHR^2 (1-2(H/R)^2-1) = πρgH^3 -------------- (2)
integrate (h from 0 to H) ρghsin(α)*dS(h) = integrate (α from 0 to arcsin(H/R)) ρgRsin(α)sin(α)*2π(Rcos(α))*Rdα = integrate (α from 0 to arcsin(H/R)) ρgsin(α)sin(2α)*πR^3 dα = ...
Вспоминаем формулу: sinx siny = 1/2 (-cos(x+y)+cos(x-y))
и продолжаем:
... = integrate (α from 0 to arcsin(H/R)) ρg((cos(α)-cos(3α))/2)*πR^3 dα = 0,5 πρgR^3 (sin(α) - (1/3)sin(3α)) (α from 0 to arcsin(H/R)) = 0,5 πρgR^3 (H/R - (1/3)sin(3arcsin(H/R))) = ...
Синус тройного угла sin (3x) = 3 sin x - 4 sin^3 x
... = 0,5 πρgR^3 *4 (H/R)^3 = 2 πρgH^3 ----------------- (3)
(1),(2),(3):
m = πρH^3

H=(m/πρ)^(1/3)

Теперь ответ похож на правду? )