Предположим еще кое-что. Если паукан двигается быстрее муравья, то ему достаточно просто оказаться на поверхности, и тогда он рано или поздно догонит. Видимо задача не про это.
Допустим, что за счет свободы передвижения, скорости V должно быть достаточно. Маршрут - двигаться по прямой к муравью, где бы он ни был.

Uranium235Предположим еще кое-что. Если паукан двигается быстрее муравья, то ему достаточно просто оказаться на поверхности, и тогда он рано или поздно догонит. Видимо задача не про это.
Допустим, что за счет свободы передвижения, скорости V должно быть достаточно. Маршрут - двигаться по прямой к муравью, где бы он ни был.

Так с какой минимальной скоростью должен двигаться паук, чтобы поймать муравья? Если ответ, что минимальная скорость, с которой он должен двигаться, чтобы поймать муравья равна v, то это неверно. (Я не утверждаю, что её недостаточно.)

Скорость муравья + 1?

Нет. Это не минимальная скорость, с которой ему необходимо ползать, чтобы поймать муравьишку.

Не, я формулу не выведу. Я даже не помню, чему равна высота тетраэдра, хотя не факт, что это необходимо вообще. Еще можно предположить, что раз скорость паука будет меньше, муравья надо зажимать в углу или рядом с углом. Найти точку, из которой можно догнать муравья вне зависимости от одного из 3х направлений, из которых тот может выбрать, учтя вариант, что он может стоять на месте до последнего.

Uranium235 Еще можно предположить, что раз скорость паука будет меньше, муравья надо зажимать в углу или рядом с углом. Найти точку, из которой можно догнать муравья вне зависимости от одного из 3х направлений, из которых тот может выбрать, учтя вариант, что он может стоять на месте до последнего.

Да! Только, позволю себе заметить, что в одном из трёх направлений муравей сможет двигаться когда он будет в вершине, а когда просто на ребре, то только в двух.

Добавлено через 13 часов 52 минуты
Подсказка.

Разгадайте загадку! Муравей бегает по сторонам равностороннего треугольника со скоростью v, а паук по всей его площади. Какова должна быть минимальная скорость u паука, чтобы он смог его поймать?

Ну как вам моя подсказка?

Уран прав, я считаю. Загнать муравья в угол тетраэдра (это возможно, так как муравью надо менять рёбра. Если муравей ползает только по одному ребру задача его поимки сильно упрощается). Соответственно паук в этот момент должен быть на биссектрисе к углу, в вершине которого муравей. Если муравей рыпнется -- паук должен пойти по перпендикуляру к ребру муравья, при этом ему должно хватить скорости преодолеть этот отрезок, пока до его основания ползёт муравей. При этом муравей может попытаться играть с пауком, совершая непрерывно ложные вылазки, без намерения окончательно удрать из ловушки. Это по сути обеспечит ему безопасность при минимальной скорости паука (тот не сможет приблизиться),поэтому скорость паука должна быть ещё на бесконечно малую больше.
Перпендикуляр до ребра от биссектрисы тетраэдра... После долгих расчётов я понял, что он по-видимому в sqrt(2) раз меньше расстояния до его основания из вершины. Тогда, если скорость муравья v, скорость паука
v/sqrt(2) + o(v)

Хотя нет, o(v) вроде не нужно. Таки вернуться на биссектрису, если муравей сменит направление, пауку проще, путь будет короче по сравнению с тем, который он прошёл, сходя с биссектрисы. За счёт этого и выгадает.

MentУран прав.

Да, Уран прав, в том что надо загонять муравья в угол

Mentv/sqrt(2) + o(v)

Нет, неверно

MentЕсли муравей рыпнется -- паук должен пойти по перпендикуляру к ребру муравья

А почему именно по перпендикуляру?

Добавлено через 1 минуту

MentХотя нет, o(v) вроде не нужно. Таки вернуться на биссектрису, если муравей сменит направление, пауку проще, путь будет короче по сравнению с тем, который он прошёл, сходя с биссектрисы. За счёт этого и выгадает.

Нет, и скорость паука u>v/2^1/2 , и u=v/2^1/2 - не верные ответы.

Добавлено через 6 минут
Хочу уточнить, что у нас идеальный паук, который обладает мгновенной реакцией на изменение вектора скорости муравья

А почему именно по перпендикуляру?

Наикратчайший путь к ребру. Легко показать, что в моей схеме достаточно не дать муравью выйти из ловушки. Если муравей привязан к углу, паук со временем сможет расстояние до угла сократить.
Скажем, муравей ползёт по ребру из угла. Тогда паук сползает с биссектрисы и идёт наперерез. Муравей не изменил направления => пойман. Муравей решил ползти в противоположном направлении (к вершине) => паук возвращается на биссектрису и ещё успевает приблизиться к вершине при этом. Как-то так.

MentНаикратчайший путь к ребру.

А почему ты думаешь, что чем короче будет путь, который надо будет проползти пауку до точки перехвата, тем меньшая ему и скорость будет необходима для того, чтобы перехватить муравья?

Да-да, как раз подумалось в этом направлении. Если обратно на биссектрису пауку удобнее возвращаться по перпендикуляру к биссектрисе, то может и от биссектрисы удобнее по этому же перпендикуляру ползти. То есть пусть паук перехватывает муравья по перпендикуляру ко своей биссектрисе, причём по тому, который пересекает ребро тетраэдра. Тогда ему понадобится скорость v/sqrt(3) для перехвата.
Но тут как раз фактор, что муравей может постоянно возвращаться к вершине и менять рёбра. Он не сможет так улизнуть из ловушки, но пауку тоже придётся возвращаться в одну и ту же точку и к вершине он не подберётся. Так что в итоге ответ я вижу v/sqrt(3)+o(v). Тогда у муравья нет выигрышной тактики.

MentДа-да, как раз подумалось в этом направлении. Если обратно на биссектрису пауку удобнее возвращаться по перпендикуляру к биссектрисе, то может и от биссектрисы удобнее по этому же перпендикуляру ползти. То есть пусть паук перехватывает муравья по перпендикуляру ко своей биссектрисе, причём по тому, который пересекает ребро тетраэдра. Тогда ему понадобится скорость v/sqrt(3) для перехвата.
Но тут как раз фактор, что муравей может постоянно возвращаться к вершине и менять рёбра. Он не сможет так улизнуть из ловушки, но пауку тоже придётся возвращаться в одну и ту же точку и к вершине он не подберётся. Так что в итоге ответ я вижу v/sqrt(3)+o(v). Тогда у муравья нет выигрышной тактики.

Да! Скорость паука должна быть больше скорости муравья делённой на квадратный корень из трёх!!! u>v/3^1/2
Именно это - условие, при котором он сможет передвигать свою "трёхлучевую звезду смерти" к муравью. В случае равенства только удерживать - не выпускать муравья из угла, но и не приближать плоскость в которой он ползает (плоскость в которой расположена трёхлучевая звезда) к вершине угла, в котором зажат муравей! А вот если больше, то уже, не выпуская муравья из угла, он сможет приближать её к нему!

Спасибо всем за проявленный интерес к загадке!

Загадывай, Ment!

Да! Скорость паука должна быть больше скорости муравья делённой на квадратный корень из трёх!!! u>v/3^1/2

В случае равенства только удерживать

А вот если больше

Ну так какой минимальной должна быть скорость паука?

P. S. Тут скорость паука будет минимальна, когда отношение пути, проползаемого пауком до точки перехвата, к пути, проползаемому муравьём до точки перехвата, будет минимально, а не путь, проползаемый пауком до точки перехвата.