MentПри нечётноугольнике начало и конец череды отрезков гарантированно лежат с одной стороны от прямой.

Вот это верно. Осталось выяснить почему.

Еще есть версия, что эта задача решается не в плоскости, а в объеме, то есть у многоугольника есть выступающий за пределы плоскости элемент, а то и не 1, что позволяет прямой пересекать его.

Хех, а в принципе про плоскость ничего и не сказано...

Вот это верно. Осталось выяснить почему.

Потому что при построении череды пересекающих отрезков они могут лежать совершенно разным образом, но до построения замыкающего отрезка их будет чётное количество. Замыкающий -- нечётный. Каждый отрезок -- это "туда", либо "обратно" относительно прямой. Чётное кол-во означает, что "туда"= "обратно", простите за несерьёзность )

MentХех, а в принципе про плоскость ничего и не сказано...

Если многоугольник не плоский, то пересечение всех сторон невозможно, т.к. прямая пересекающая две его стороны полностью лежит в плоскости этих сторон и не может пересекать стороны, лежащие в других плоскостях.
Так что имеется ввиду, конечно, плоский 111-угольник.

Если многоугольник не плоский, то пересечение всех сторон невозможно, т.к. прямая пересекающая две его стороны полностью лежит в плоскости этих сторон и не может пересекать стороны, лежащие в других плоскостях.

М, ну не получится, да. Я бы, правда, так сказал: если построить два соединённых отрезка и пересечь их с прямой, то следующий отрезок, соединённый с предыдущим и пересекающим ту же прямую, лежит в той же плоскости. Повторить n раз.

MentКаждый отрезок -- это "туда", либо "обратно" относительно прямой. Чётное кол-во означает, что "туда"= "обратно", простите за несерьёзность )

Ну в принципе верно. Прямая делит плоскость на 2 части (назовем условно "белая" и "черная"). Пронумеруем вершины от 1 до 111. Если 1 "белая"/"черная", то 2-я "черная"/"белая", 3-я "белая"/"черная" и т.д. 111 получается "белой"/"черной", что невозможно, т.к. 2 соседние вершины (1 и 111) получаются одного цвета.

Загадывай.

Попробуем так:

Имеется плоскость, случайным образом раскрашенная в два цвета: зелёный и малиновый. Всегда ли возможно найти на этой плоскости две точки одинакового цвета с заданным расстоянием между ними x? Доказать ответ.

Если 2 соседних участка имеют разный цвет, то какого цвета считается граница между этими участками?

Блин, я писал ответ, а сообщение не отправилось.
В общем, главное, что нам требуется, чтобы точки не были одного конкретного цвета, а просто одинаковые (иначе ответ нет, так как в том числе у нас есть случай, когда вся плоскость зеленая, а на ней 2 малиновые точки не найти).
Так вот, ищем границу между двумя разноокрашенными областями, и ставим точку (1) на расстоянии х/2 по перпендикуляру к касательной к этой границе (предполагаем что она неровная).
Дальше пытаемся найти другую точку такого же цвета, как и (1) по всей окружности с радиусом х (принимая (1) как центр окружности).
Если мы такую точку не находим, вся окружность совпадает с (1) по цвету, то ставим точку (2) на той линии, которая перпендикуляр к касательной (и на которой уже точка (1)) на расстоянии х от (1), и дальше двигаем отрезок по этому перпендикуляру. В пределах диаметра круга 2х должно быть четное число смен цвета плоскости, потому искомое расстояние х должно найтись.
Да, если вдруг не находится потому, что у нас плоскость разделилась по цвету как концентрические кольца от дифракционной решетки и мы выбрали (1) центром этих колец, то всегда можно найти 2 одинаковые точки на одной из хорд колец.
Собственно это упрощает ответ. Если у нас по окружности радиуса х от (1) нет совпадений по цвету с (1), то на самой окружности есть 2 точки одинакового цвета, и между ними можно построить хорду, по длинне равную радиусу.

Uranium235ищем границу между двумя разноокрашенными областями

Учитывая, что раскрас какой угодно, никаких границ вообще может не найтись. Например, как тебе такой раскрас: все точки, у которых обе координаты рациональные, - зеленые, остальные - малиновые.

Добавлено через 2 минуты

Uranium235Если у нас по окружности радиуса х от (1) нет совпадений по цвету с (1), то на самой окружности есть 2 точки одинакового цвета, и между ними можно построить хорду, по длинне равную радиусу.

А вот это походу то, что надо!

Если многоугольник не плоский, то пересечение всех сторон невозможно, т.к. прямая пересекающая две его стороны полностью лежит в плоскости этих сторон и не может пересекать стороны, лежащие в других плоскостях.

Плоскость -- это множество точек. Каждая точка может иметь свой цвет. Если точки объединены в сплошные участки (что может получиться только случайно), то граница у участков может быть... Какого угодно цвета и не обязательно одного.
Ответ Урана сейчас постараюсь переварить.

Да, Уран, последний абзац верен (хотя про остальные лучше забыть, Ящур озвучил причину).
Собственно, решение можно даже сделать чуточку проще. А именно взять равносторонний треугольник со сторонами x. Так как у треугольника три вершины, а цвета всего два, то по крайней мере две вершины будут одного цвета. Но в принципе, от окружности почти не отличается.
Загадывай.

Давайте простой, что ли.
В цикле Лорвин (Lorwyn) ККИ Magic the Gatring были карты эльфов, фей, гоблинов и кое-кого еще. А вот карт ИХ, как ни странно, не было издано, ведь ОНИ были в каждом цикле до и после.
ИХ назовите.

Ещё раз хочу предоставить своё такое решение загадки о том, кто украл кошелёк учительницы. Да, Ящур раньше меня всё правильно разгадал; я просто хочу написать правильную свою разгадку, как я хотел тот раз, раз та была некорректная.

Пусть заявления, что они этого не делали
Лилиан - a,
Джуди - b,
Девид - c,
Тео - d,
Маргарет - e.

Лилиан заявляет, что она никогда в своей жизни ничего не воровала - f
Папа Джуди богат - g,
Маргарет знает кто украл - h,
Девид не знаком с Маргарет - k,

Тогда
Лилиан: a+f+(1-d)=2, a>=f
Джуди: b+g+h=2
Девид: c+k+(1-d)=2
Тео: d+(1-e)+d=2
Маргарет: e+(1-b)+(1-k)=2
a+b+c+d+e=4

Тогда из четвёртого получаем, что d=1 и e=1
Из третьего получаем, что c=1 и k=1
И из пятого получаем, что b=0

Прикол в том, что высказывание Лилиан, получается, надо написать так a+f+(1-d)=2, a>=f, потому что ситуация когда a=1 , f=1 может быть, a=1 , f=0 может быть, a=0, f=0 может быть, если не принимать во внимания, что два её высказывания должны быть верны, а вот a=0, f=1 быть не может... то есть надо добавлять a>=f

В цикле Лорвин (Lorwyn) ККИ Magic the Gatring были карты эльфов, фей, гоблинов и кое-кого еще. А вот карт ИХ, как ни странно, не было издано, ведь ОНИ были в каждом цикле до и после.
ИХ назовите.

Думаю, самое сложное тут -- определиться с одним вариантом ответа. Эльфы, феи, гоблины... К этому набору гарантированно прилагаются люди, орки и, скорее всего, гномы/дварфы.
Лорвин -- это явно про эльфийские леса. В принципе, там могут быть и люди, но я скорее ставлю, что "кое-кто ещё" -- это какие-нибудь кентавры. Или полурослики. Или гномы (но не дварфы). Однако, вспоминая лор той же Might&Magic уверенности нет, что это не люди вселились в эльфийские леса. Они такие, могут запросто. Лезут всюду, такой наш род.
И всё ж... Если "ОНИ" -- это не люди, то выбрать среди орков/дварфов и прочих слишком сложно. Так что мой ответ -- люди.