Ну да, вопрос простой.
Конечно хуманцов не завезли, Мент прав.

А я хотела по приколу так ответить, но передумала.

Есть вариант посложнее и полегче (но обе не ахти сложные). Вроде обе задачки интересные. Что дать?

Ну и зря передумала, я б не стал сложный вопрос простым обзывать.

Менти, обе, начинай с первой - давай чтоли с первой которая проще - чтобы быстрее очередь для второй дошла.

Ладно, давайте вот такую:

Представим себе, что мы строим многогранники и реализуем их, наделяем их весом. Очевидно, мы можем построить многогранник, чтобы он, будучи положенным на ровную горизонтальную плоскость (на одну из граней, или хоть на все грани поочерёдно), оставался в состоянии покоя, равновесия. При этом такой многогранник может быть неправильным.
Вопрос: а можно создать такой многогранник, чтобы он не был в состоянии равновесия (переворачивался бы), будучи положенным на любую свою грань? То есть не было бы грани, чтобы он не перевернулся с неё.
Разумеется, доказать.

Чет у меня ощущение что нет, должно существовать состояние покоя, иначе такой вечно крутящийся многогранник уже бы абузили в качестве вечного двигателя.
Обычный шар по сути можно представить как многогранник, если грани делать в 2-3 атома длинной - но думаю мы знаем, что если плоскость реально ровная, то сила тяжести+сила трения - и шар никуда катится не будет. А чем меньше многогранник похож на шар, тем меньше шансов, что он вообще сможет куда-то катится - а по сути именно это и надо, не был в состоянии равновесия=катился.
Без приложения внешней силы шар катится не будет. Хоть каким образом, например наполнить шар (ладно многогранник) каким то летучим веществом типа йода и нагревать горизонтальную поверхность. тогда пары йода со дна испаряются, оседают сверху - центрм масс смещается, шарик катится, кристаллы йода оказываются рядом с горизонтальной поверхностью и снова возгоняются... В общем, тут нагревание - внешняя сила.
А нормальных доказательств у меня нет.

Вогнутый многогранник может лежать на рёбрах.

Добавлено через 3 минуты
Можно. Это будет вогнутый многогранник, который будет переворачиваться с граней на рёбра.

Добавлено через 17 минут
Возьмём хоть многогранник образованный путём слепления двух правильных тетраэдров одной из граней. Его центр тяжести будет в середине. Эта точка будет серединой граней, которыми слеплены тетраэдры. Срежем почти у самой грани общей после слерления тетраэдров с обоих концов по пирамидке - правильному тетраэдру. и выдолбим с каждой стороны симмерично по три грани внутрь. Положение центра тяжести образованного таким образом многогранника не изменится, а если его положить на любую грань после этого, то проекция центра масс на плоскость этой грани будет за её пределами - значит многогранник перевернётся на рёбра.

HermitМожно. Это будет вогнутый многогранник, который будет переворачиваться с граней на рёбра.

Нужно, чтобы "на любую грань", а вогнутый вообще-то нельзя положить на некоторые грани.

Добавлено через 42 минуты
Если многогранник положить на ребро (или на вершину), то такое равновесие не будет устойчивым (т.к. центр тяжести будет выше опоры) и многогранник упадет на одну из граней. Если при этом проекция центра тяжести окажется в пределах области стола (или куда там кладется многогранник), на которой лежит эта самая грань, то многогранник, положенный на эту грань, не упадет. Такая грань найдется всегда (многогранник будет "падать" до тех пор, пока не "найдет" такую грань), так что ответ нет.

P.S. Разумеется, если многогранник выпуклый, но вроде по постановке вопроса видно, что выпуклый. Иначе "на любую грань" его положить в принципе нельзя.

Добавлено через 12 минут

Uranium235если плоскость реально ровная, то сила тяжести+сила трения - и шар никуда катится не будет.

Вот шар-то как раз очень хорошо катиться будет. Кроме тех случаев, когда его центр тяжести лежит на диаметре, перпендикулярном крышке стола.

Возьмём хоть многогранник образованный путём слепления двух правильных тетраэдров одной из граней. Его центр тяжести будет в середине. Эта точка будет серединой граней, которыми слеплены тетраэдры. Срежем почти у самой грани общей после слерления тетраэдров с обоих концов по пирамидке - правильному тетраэдру. и выдолбим с каждой стороны симмерично по три грани внутрь. Положение центра тяжести образованного таким образом многогранника не изменится, а если его положить на любую грань после этого, то проекция центра масс на плоскость этой грани будет за её пределами - значит многогранник перевернётся на рёбра.

Интересная картинка. Должен признаться, моего пространственного воображения немного недостаточно, чтобы понять, как там проецируется центр масс на его "внешние" грани. Но в любом случае Ящур прав, если хотя бы на одну грань из всех нельзя "положить", то такой многогранник не удовлетворяет условиям задачи. В данном случае "срезание пирамидок" позволительно, а вот "выдалбливать" по три грани внутрь -- нет. Он на эти три грани просто не сможет лечь.

Такая грань найдется всегда (многогранник будет "падать" до тех пор, пока не "найдет" такую грань), так что ответ нет.

В принципе всё верно, но почему такая грань найдётся всегда? Мне это не вполне очевидно, хех.

Многогранник может лежать на своей грани, если на неё проецируется центр тяжести. (Центр тяжести тут надо прямоугольно проецировать на плоскость, в которой лежит грань, на которой он лежит. ) Так как получается, что многогранник должен быть выпуклым, а иначе не получится, что он может лежать на любой из своих граней, то центр тяжести находится внутри многогранника, а значит, если из него опустить перпендикуляры на все грани, то какой-нибудь из них уж точно должен пересечь грань, на которую он опущен.

Злобный ЯщурВот шар-то как раз очень хорошо катиться будет. Кроме тех случаев, когда его центр тяжести лежит на диаметре, перпендикулярном крышке стола.

Так если у нас шар одинаковой плотности, то так и есть, центр тяжести в центре шара (что входит в перпендикулярный плоскости диаметр). А если нет - ну покрутится шарик чуть-чуть и все равно придет к устойчивому состоянию.

В идеале, если нет никакого трения и сопротивления движению - не придёт к неподвижному состоянию. То же самое даже и с многогранником. В принципе, если отпустить цилиндр у которого центр тяжести смещён расположен не на оси, то в отсутствии трения и сопротивления движению он так и будет кататься туда-сюда. То же самое и например многогранник-"почти цилиндр". Конечно будет затрачиваться энергия при поднятии почти цилиндра на ребро, но она же будет и высвобождаться при опускании почти цилиндра на грань.

Многогранник может лежать на своей грани, если на неё проецируется центр тяжести. (Центр тяжести тут надо прямоугольно проецировать на плоскость, в которой лежит грань, на которой он лежит. ) Так как получается, что многогранник должен быть выпуклым, а иначе не получится, что он может лежать на любой из своих граней, то центр тяжести находится внутри многогранника, а значит, если из него опустить перпендикуляры на все грани, то какой-нибудь из них уж точно должен пересечь грань, на которую он опущен.

Хм. Ну, звучит уже очевиднее, но всё ещё не на 100%, я бы сказал. Кто гарантирует, что проекция центра тяжести фигуры рано или поздно ляжет на грань? Вдруг он может всё время попадать на проекции других граней...
Ребят, тут задача не на динамику. Интересуют состояния равновесия, а не то, сколько времени какая фигура сможет вращаться. Равноплотностный шар находится в состоянии равновесия по умолчанию, хоть и неустойчивого.

А что написала Коша? Вдруг это верно? Мало ли...

Я писала, что можно перевести задачу в плоскость и доказать, что для любой точки внутри выпуклого многоугольника можно провести перпендикуляр к одной из сторон, чтобы конец перпендикуляра опускался на саму сторону, а не её продолжение.
Ну там тип разбиваем эту штуку на треугольники с углами вершина-вершина-центр и фигачим высоты, ну мб ещё стоит учесть про 360 градусов и т.п., дальше неохота решать.