По идее, нет такого тела. Ибо, как заметил Ураний, давно бы уже это использовали. Чтобы тело вращалось, необходимо, либо задать ему ускорение, либо, чтобы тело было настолько маленьким (относительно), что вращалось бы под действием гравитационных сил. И, собственно, вопрос про грани тут вообще не уместен. Ну я так думаю.

Я писала, что можно перевести задачу в плоскость и доказать, что для любой точки внутри выпуклого многоугольника можно провести перпендикуляр к одной из сторон, чтобы конец перпендикуляра опускался на саму сторону, а не её продолжение.
Ну там тип разбиваем эту штуку на треугольники с углами вершина-вершина-центр и фигачим высоты, ну мб ещё стоит учесть про 360 градусов и т.п., дальше неохота решать.

Ну да, вполне возможно, что так можно сделать. Существенных отличий не вижу.

Ибо, как заметил Ураний, давно бы уже это использовали.

Да кто ж его знает, вдруг люди глупые и не догадались...

Чую дело связано с возможностью порезать многогранник на пирамиды с вершинми в центре тяжести и основаниями - гранями многогранника (при желании грани можно покромсать на треугольники, порезав таким образом многогранник на тетраэдры). Мож тут еще как-то замешаны телесные углы полученных пирамид или их сумма. Но чет никак мысля не получает развития...

Да, один Мент догадался.

Прикол в том, что надо рассматривать в совокупности, сейчас завязла на том, что для отдельной стороны это условие может не выполняться, но чёт не могу тогда корректно условие сформулировать.

Ну а если попробуем так. Для того, чтобы многогранник повернулся с одной грани на другую у него должна быть потенциальная энергия, то есть потенциальная энергия на какой-нибудь соседней грани должна быть меньше (положение центра тяжести при повороте на неё должно стать ниже). Поскольку число граней конечно, то многограник может перекатываться с грани на грань, а его потенциальная энергия уменьшаться и когда-нибудь он придёт в состояние когда в положении на всех соседних гранях его потенциальная энергия будет больше, чем в положении на грани на которой он лежит и он не сможет перекатиться на соседние.

Добавлено через 2 минуты
Центр тяжести может только опускаться и у многогранника он может опускаться дискретно при перекатывании и до бесконечности он не может опускаться.

А почему минимум потенциальной энергии придется именно на какую-то грань, а не на какое-то ребро? Пока Мент отсутствует, задам этот вопрос за него.

Добавлено через 2 минуты
Пожалуй и отвечу сам.

Потому что перпендикуляр из центра тяжести на ребро длиннее, чем перпендикуляр из центра тяжести на грань (гипотенуза длиннее катета).

Хермит, да, принято. Рано или поздно многогранник тупо минимизирует потенциальную энергию. Физический подход тут много проще, чем математический, через проекции центра тяжести В этом плане Морт правильно заметил, на грани легче забить.
Собственно, там, где я эту задачу откопал, говорили вообще просто "Вечный двигатель невозможен => такое невозможно". Но мне показалось это недостаточным. Мало ли, вдруг там парадокс какой... Или эта система всё же не является вечным двигателем (ГЭС тоже может показаться вечным двигателем: река течёт хоть до бесконечности, мы берём халявную энергию. Но по факту никакого вечного двигателя там нет. Вдруг и тут была бы внешняя энергия какая?). Через потенциалы я посчитал оптимальным объяснением.
Хермит, загадывай.

А почему минимум потенциальной энергии придется именно на какую-то грань, а не на какое-то ребро? Пока Мент отсутствует, задам этот вопрос за него.

Добавлено через 2 минуты
Пожалуй и отвечу сам.

Потому что перпендикуляр из центра тяжести на ребро длиннее, чем перпендикуляр из центра тяжести на грань (гипотенуза длиннее катета).

Что ж, да, разумное дополнение...

А почему сразу не на вершину? Тут главное, чтобы на соседних гранях потенциальная энергия была больше. Ну а вообще-то в природе абсолютных углов не бывает и в конечном счёте он свалится на грань. Это, я думаю, не обязательное условие, что он должен перекатиться на грань, где энергия меньше. Тут, по моему, надо ещё, чтобы центр тяжести был не над гранью, где он лежит, но то, что я написал выше однозначно доказывает, что до бесконечности он перекатываться не может.

Добавлено через 17 минут
В некотором царстве, в некотором государстве жил был царь. И было у него 100 мудрецов. Решил однажды царь проверить насколько его мудрецы на самом деле мудрые. Позвал он их к себе и сказал: "Завтра вас выведут на площадь, построят в шеренгу, наденут каждому на голову красный, белый или синий колпак и позовут палача. После этого я буду вас вызывать по одному и каждый из вас должен будет сказать колпак какого цвета у него на голове. Тем кто не угадает цвет колпака, который на нём надет я отрублю голову!.. "

Стали мудрецы думать как им спастись.

Сначала они придумали способ, как спастись каждому второму. Для этого он должен будет сказать цвет колпака мудреца, который идёт за ним и каждый второй мудрец должен будет повторить то, что сказал вызванный перед ним.

Затем они придумали способ как спастись двум из трёх. Первый мудрец смотрит колпаки каких цветов надеты на втором и третьем. Если они одинакового цвета, то он говорит именно этот цвет, а если разного, то цвет, которого нет ни у второго, ни у третьего мудреца.Второй выходит и если видит на третьем колпак того же цвета, что и сказал первый, то говорит именно этот цвет, а если другого, то говорит третий цвет - не тот, который сказал первый и не тот, который у третьего. Третий, если и первый и второй сказали один и тот же цвет, говорит именно этот цвет, а если разные цвета, то оставшийся цвет. Так можно гарантированно спастись 66 мудрецам.

Вопрос: какому максимальному количеству мудрецов гарантированно можно спастись и как? Или, если не существует способа гарантированно спастись более 66 мудрецам, доказать почему!

Я бы написал про ваши загадки, да боюсь забанят.

Хермит, тут биномиальное распределение Ньютона. Считать надо, долго, лень и вообще, я спать пошел.

И не жалко тебе мудрецов?

Чего их жалеть? Шоу-бизнес это все.

Чет у меня ощущение, что там ответ - спастить могут все кроме одного, а этот один имеет шанс спастись.
Это по памяти, что видел задачу, решения не помню.

3 из 4 спастись не могут, т.к. 2 по ответу первого не сможет определить разницу между "красный, красный, красный" и "синий, красный, красный". Так что увы, 3 из двух - это максимум.